线性变换

[拼音]：xianxing bianhuan

[外文]：linear transformation

同一域上两个向量空间之间的映射，是线性代数的一个主要研究对象。

设V和V┡是域 K上的向量空间，L是从V到V┡的映射，如果对于V中任意向量 u、v以及K中任意元素α、b，有L(αu+bv)=αL(u)+b)L(v)，那么L 称为V到V┡的线性变换。例如，解析几何里的三维空间中任一向量(玻y，z)在xy平面上的投影:L((玻y，z))=(玻y)，就是实数域R上三维向量空间R³到二维向量空间R²的一个线性变换。设彩n维向量，M是m×n实矩阵，令L()=M・玻L就是Rⁿ到R^m的一个线性变换。

设L 是V 到V┡的一个线性变换， B ={b)_j|j=1，2，…，n}和 C ={с_j|i=1，2，…，m}分别是 V 和V┡的基，于是，V 中任一元素部杀砦，其中x_j是域K的元素。由线性变换的定义可推得。若 式中α_ij是域 K 的元素，令M(L)=(α_ij)，残次邢蛄(x₁，x₂，…x_n)^T，则L()＝M(L)・病４耸M(L)称为L对(B，C)基的矩阵。当基取定之后，就在L与M(L)之间建立了一一对应关系，即V到V的一切线性变换与K上一切n×m 矩阵之间是一一对应的。线性变换保持子空间及其包含关系，即若S₁、S₂都是V的子空间，且有时，则L(S₁)、L(S₂)必是V┡的子空间，且有。V┡的零向量在V中的原像组成的集合，称为L的核，记作KerL，L(V)表示V在L作用下的像，则KerL和L(V)分别为V和V┡的子空间，若以dim KerL 和dimL(V)分别表示子空间KerL 和L(V)的维数，则有dimKerL+dimL(V)=dimV。dim KerL称为L的亏，dimL(V)称为L的秩。

从线性变换和矩阵的对应关系可知这两者是同一的，但是线性变换的矩阵与基有关，而线性变换却不受基的限制，所以线性变换使用起来要方便一些。例如，解齐次线性方程组：

就可看作求KerL的问题，这里L是矩阵(α_ij)所代表的线性变换。因此，当L的亏为0时方程组只有零解。在m<n时，由亏和秩的关系可知dimL(V)V，所以，L的亏＞0，此时方程组有非零解，而且所有的解构成V的一个子空间。于是只要找出KerL的基，就可写出解的一般表达式。

在V=V┡时，若V 到V┡的线性变换L是一个双射，则L 称为可逆变换或非奇异变换。从亏和秩的关系可知以下条件是等价的：

（1）L是正则的；

（2）M(L)是非奇异的；

（3）L(V)=V；

（4）KerV ={o}。V 的正则变换以映射的合成为运算构成一个群，称为V上的一般线性群，记作GL(V)。

在V和V┡都是赋范线性空间时，V到V┡的线性变换就称为线性算子。如果V┡是一维实空间，那么就把线性算子称为线性泛函。对于线性算子L若存在常数M，使得‖L()‖≤M・‖病杂V的一切x都成立，那么L称为有界的。对于线性算子来说，有界和一致连续是等价的。