欧几里得空间

[拼音]：Oujilide kongjian

[外文]：Euclidean space

简称欧氏空间，是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。“内积”是一个度量概念，有明显的代数性质，向量的长度和夹角都可以通过向量的内积来表示。所谓内积，是指与实数域R上向量空间E中任意一对向量u、v 惟一对应的实数，这个实数记作(u，v)，并满足以下条件：

（1）(u，v)=(v，u)，②③(αu，v)=α(u，v)，④(u，u)≥0，当且仅当u=0时(u，u)=0，式中u，u₁，u₂，v是E 的任意向量，α是任意实数。

一个定义了内积的实数域上的向量空间，称为欧几里得空间。例如，设V是解析几何里的三维空间，u、v是V 的任意向量，在V 中定义(u，v)=｜u｜・｜v｜cosθ，其中|u|、|v|分别表示u、v的长度，θ表示u和v的夹角。(u，v)满足内积的全部条件， 所以V是一个欧氏空间。设R是实数域，R 上的n 维向量空间，定义，式中，则Rⁿ成为一个欧氏空间。设E是定义在闭区间 [-1，1]上一切连续实函数所构成的向量空间，定义

，

式中ƒ(t)、g(t)是E中的函数。则E作成一个欧氏空间。

欧氏空间E 的一个向量驳某ぃㄒ逦歉菏凳，并记作||，即

。

欧氏空间E 的任意两个非零向量 和у 的夹角θ由公式cosθ=(玻)/(|||у|)来确定。这是解析几何里关于两个向量夹角的自然推广。著名的柯西－施瓦兹不等式或布雅科夫斯基不等式(玻)≤(玻)(у，у)，当且仅当灿毵宄杀壤钡群挪懦闪Ｖち松鲜龅募薪嵌ㄒ宓暮侠硇浴Ｅ肥峡占E 的两个向量灿毵宓木嗬攵ㄒ逦|-у|。对于E 的任意三个向量病濉z，有通常关于距离的三角形不等式成立：｜-z｜≤｜-у｜+｜у-z｜。

如果欧氏空间的两个向量灿毵宓哪诨悖(玻)=0，那么灿毵 称为正交的。在一个欧氏空间里，与解析几何的直角坐标系相类似的概念是所谓标准正交基。n维欧氏空间E的基e₁，e₂，…，e_n，如果满足条件

那么e₁，e₂，…，e_n称为E 的一个标准正交基，即E的一组长度为1且两两正交的基称为标准正交基。任何一个n维欧氏空间都有标准正交基。如果e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间E 的一个标准正交基，，是E的任意向量，那么，即在一个标准正交基下，两个向量的内积等于其对应坐标的乘积之和。

如果两个欧氏空间E 和E┡，作为实数域上的向量空间是同构的，而且当O博牛Oу┡时有(玻)=(博牛濠)，即E 和E┡ 的相对应的向量的内积是相等的，那么E与E┡称为同构。任意一个n维欧氏空间都与Rⁿ同构。

欧氏空间在复数域上的自然推广。如果V 是复数域上的一个向量空间，对于V的任意一对向量u、v，有一个确定的复数(u，v)与之对应，且满足以下条件:(u，v) ，当且仅当u=0时等号成立，那么V 称为酉空间。这里u₁，u₂是V 的向量，α是任意复数，表示(v，u)的共轭复数。由于有，所以(u，u)是实数，因而(u，u)≥0有意义。

在一个酉空间里，也可以把向量u的长｜u｜定义为，但是不能象在欧氏空间里那样来定义两个向量的夹角，因为一般说来，(u，v)不一定是实数。尽管酉空间里有向量的长度概念而无夹角概念，然而仍可引入两个向量正交的概念。如果酉空间的两个向量u、v的内积为零，即(u，v)=0，那么u与v称为正交的。在一个n维酉空间里，也可以定义标准正交基；而且任一n维酉空间必定存在标准正交基。