力迫方法

[拼音]：lipo fangfa

[外文]：forcing method

一种构造公理系统的模型的方法。由P.J.科恩于1963年为证明连续统假设的否定 与ZF 相协调而提出，当时证明了 及等，其后D.S.斯科特及R.M.索洛韦发展了布尔值模型处理方法。J.R.休恩菲尔德认识到斯科特及索洛韦的构造可以直接用偏序集而不必嵌入一完全布尔代数，流行的是休恩菲尔德的既具一般性又与科恩的思想比较接近的处理方法。

给定一个 ZFC的可数可传模型M。想象一个外来物G，把 G加到 M上扩充成一个可数可传的M[G]，使得M[G]ZFC，MM[G]，G∈M[G]，而且M[G]是具有这三条性质的最小的。在某种意义下，M[G]中的个体是可以由G经过在M中可定义的集论过程得到的。M[G]中的每一个体在M中就能讨论，知道G后，就知道M[G]的每一元。一般的情况下GuM，但是G可以用M中的元素迫近。

为了在M中能讨论M[G]，给出一个有很多常量的新语言:令P为一偏序集，P∈M，MZFC（ctm表示可数可传模型）；定义P-标号，然后令M^p｛τ∈M｜τ是P- 标号}。这些τ∈M^p可看作形式符号。把原来的语言L={∈}拓展成L=LU{τ:τ∈M^p}。这样的一个P 叫做一个力迫概念，L叫做T力迫语言，P中的元素叫做力迫条件。两个条件p，q，在偏序≤下，p≤q称作p比q强（此处由于历史因素造成了符号运用的倒置）。一个GP，若G是非空滤子，而且跟每一在M中的稠密子集DP有交，则称为在M上P-脱殊的。给定一个G，不论G∈M与否，可以定义一赋值，使每一τ∈M^p都有一解释τ_G。把所有新常量的G－解释收集起来成为语言L的一个结构M[G]{τ_G:τ∈M^p}。对L一句子ψ，ψ就是M[G]的一个断言，其真假视 G而定。对p∈P，ψ是L一句子，定义pψ（读作p力迫ψ）如下：

若MZFC，P是M中的一偏序集，P₀∈P，则总有含有p₀的、在M上P-脱殊的GP，而且当G是在M上P-脱殊的时候，上面所定义的M[G]ZFC，M[G]≥M，G∈M[G]。这样就从一个模型，扩张成另一个模型。应用不同的偏序集，可以得到一些附加公理（假设）在 M[G]中成立。相对协调性结果就可如此样得到。利用这种方法得到的相对协调性结果的数目已经相当可观了。

力迫方法的很多工作，包括上面那个主定理的证明都用到下面三条引理。

（1）可定义性引理 上述的定义不是能行的。可用递归定义法得到 ^*，使给定p，ψ(τ)，p^*ψ(τ)对应于L中一T公式，而且pψ(τ)CM(p^*φ(τ))。

（2）真理引理　对每一在 M上 P- 脱殊的 G P，M[G]=φ[τ_G]C彐p∈G(pφ(τ))。

（3）稠密引理　对任一L一语句φ(τ)，对每一p∈P，都有一比p强的条件q，q或力迫φ(τ)，或力迫\φ(τ)。

以上是力迫的理论。如果想要一个满足 的模型，就想象一个从ω₁到P（ω）的满射g。G中元素就是这个未知函数g的一些可数迫切。自然令这个P在M中可定义，P ∈M。用作偏序≤，因此任一在M上P-脱殊的GP是一相容函数集， 而且UG是ω₁^M 到P^M(ω)的满射。 此处ω₁^M 是在M中看到的第一个不可数基数，P^M(ω)是M中看到的全体ω的子集。可以由P的性质，证明在M[G]中没有多出ω的子集来，尽管M[G]确比M大。而且可以证明， 在M[G]中扮演着第一个不可数基数的角色的序数，就是刚才的 ω₁^M，所以M[G]中的函数UG（亦即原来的未知函数 g）， 就见证了有一函数，从M[G]认为是第一个不可数的基数，到M[G]认为是ω的全体子集上。即M[G]斟g（g是 ω₁到P(ω)上的函数）从而M[G]，即M[G]CH。这不等于构造了一个CH的模型，而是由一个ZFC的可数可传模型M，得出一个2FC+CH的可数可传模型M[G]。

如果取P ={p ∈M|M|p|<ω∧p是函数∧dom pω₂×ω∧rangep {0，1}}，用作≤，得到的扩张M[G]中至少有₂个从ω到{0，1}的函数。从而M[G]ZFC+\CH。

为了使在原来的M中作为基数的序数到了M[G]中保持不变，要对力迫概念，也就是偏序集，加上限制。在这个理论的发源期就提出来的有链条件和闭性质等，随着力迫理论方面的突破即迭代力迫的创立，以及J.鲍姆格特纳和S.谢拉赫等的正常力迫法的工作即除了又有许多命题的相对和谐性得到证明之外，提出来的相应的条件又促进了组合集论的发展。